Site original : Boudah Talenka
But du projet : faire une version plus complète et plus actuelle du célèbre test de pureté de Griffor. Objectif atteint en 3h de travail, 14 Ko dans un unique fichier HTML (donc jouable hors-ligne). L'accent a été mis sur la simplicité et la légèreté du projet, et on peut compléter facilement le jeu :
But du projet : faire une version plus complète et plus actuelle du célèbre test de pureté de Griffor. Objectif atteint en 3h de travail, 14 Ko dans un unique fichier HTML (donc jouable hors-ligne). L'accent a été mis sur la simplicité et la légèreté du projet, et on peut compléter facilement le jeu :
Ceci est la traduction en français de mon article publié dans Physical Review Letters, au sujet de la synchronisation assistée par résonance dans des oscillateurs couplés : verrouillage de phase sans verrouillage de fréquence.
Auteurs : Jérémie Boudah Thévenin (Moi), Marco Romanelli, messieurs Marc Vallet et Marc Brunel (mes encadrants de thèse), ainsi que Thomas Erneux.
Résumé : nous démontrons expérimentalement le verrouillage de phase sans verrouillage de fréquence de deux oscillateurs non-linéaires couplés. Ce régime de synchronisation est obtenu pour deux modes couplés d'un laser, au-delà de la plage de verrouillage de phase déterminée par l'équation d'Adler, grâce à un mécanisme de résonance. Spécifiquement, nous montrons que les amplitudes de ces deux modes laser fluctuent fortement ce qui provoque la synchronisation de fréquence moyenne, même si les phases instantanées ne sont pas verrouillées. Nous présentons également un modèle théorique qui est en accord avec nos observations expérimentales.
La synchronisation, c'est à dire la capacité qu'ont deux oscillateurs couplés d'osciller à la même fréquence, est une propriété répandue voire omniprésente dans la nature, qui apparait tant dans les horloges biologiques, les réactions chimiques, les oscillateurs mécaniques ou électrique, que dans les lasers; juste pour mentionner quelques exemples bien connus [1]. Quand l'amplitude des oscillations est constante, les deux oscillateurs couplés peuvent être décrit par une unique équation pour leur phase relative Φ :
Où ∆ν est le désaccord entre les fréquences des deux oscillateurs et fA est la constante de couplage exprimé sous forme de fréquence. L'équation (1) fut originellement développée par Adler [2] pour un oscillateur électrique asservi à une référence externe et qui a prouvé depuis son utilité dans une large variété de situations. De récents exemples incluent des oscillateurs biologiques [3], la dynamique d'excitation des micro-particules de détection [4], ou les lasers à point quantique injectés [5]. L'équation d'Adler montre que le comportement de deux oscillateurs couplés dépend du ratio entre ∆ν et fA. Si |∆ν/fA| ≤ 1, une solution stable et stationnaire existe pour l'équation (1). A contrario, si |∆ν| excède fA, les deux oscillateurs ne peuvent se synchroniser et leur phase relative croit indéfiniment au cours du temps.
L'équation d'Adler se vérifie bien, dans la limite d'un faible couplage et d'un faible désaccord, pour les lasers couplés de classe A [6]. D'un autre coté, les investigations théoriques sur les lasers de classe B injectés [7, 8] pointent du doigt que l'équation (1) devrait également inclure la dynamique d'amplitude. De cette complexité dynamique accrue résulte l'existence d'un régime intermédiaire entre le verrouillage de phase et la dérive de phase (déverrouillage). Dans ce régime, appellé entrainement de phase, la phase relative n'est pas stationnaire; cependant, elle reste bornée. Cela signifie que les fréquences moyennes des oscillateurs sont verrouillées. Bien que l'entrainement de phase, c'est à dire le verrouillage de fréquence sans verrouillage de phase, est un genre de synchronisation universel (prédit par exemple pour les oscillateurs de Van der Pol couplés [9]), aucune preuve expérimentale de ce comportement n'a été rapportée, probablement parce qu'une claire discrimination par rapport au verrouillage de phase standard est délicate. Dans cette lettre, nous montrons que les lasers constituent un support expérimental pratique pour révéler cette dynamique d'entrainement de phase. Nous avons mesuré la phase optique entre deux champs laser couplés et trouvé qu'elle était bornée, c'est à dire que les fréquences moyennes des champs étaient synchronisées, au-delà de la limite de verrouillage de phase prédite par l'équation d'Adler. Notre observation expérimentale est fortement liée à l'existence d'une échelle de temps intrinsèque TR = 1/fR, caractéristique de la dynamique des lasers de classe B, où fR est la fréquence des oscillations de relaxation [6]. Nous avons trouvé que la synchronisation s'étend au-delà de la limite d'Adler quand les deux échelles de temps gouvernant la dynamique des lasers de classe B couplés, c'est à dire TR et T1 = 1/∆ν sont proches. Près de la résonance, les champs laser sont très sensibles au couplage, avec pour résultat que la synchronisation des fréquences moyennes est observée pour un couplage faible.
FIG 1. (a) Schéma expérimental. Un laser bi-fréquence (DFL) émet deux champs laser mono-modes, polarisés perpendiculairement, νx et νy. Le champ x est réinjecté dans le champ y après que sa fréquence soit augmentée de 2fAO et que sa polarisation soit tournée par une lame quart-d'onde (PR). Le signal de battement I(t) est détecté derrière un polariseur (P). (b) Schéma des fréquences impliquées. Le champ x et ses bandes d'oscillations de relaxation situées à ± fR sont décalés en fréquence de manière à être quasi-résonants avec le champ y.
Notre montage expérimental est décrit sur la figure 1(a). On utilise un laser à état solide bi-fréquence pompé par diode (laser Nd3+:YAG émettant à la longueur-d'onde de 1064 nm). Ce type de lasers nous donnent deux champs lasers monomode accordables en fréquence, correspondant aux deux modes propres de polarisation de la cavité laser [10]. L'élément-clé de ce système dans le contexte présent est que la différence de fréquence ∆ν0 = νy – νx des champs lasers “en boucle ouverte” Ex et Ey est intrinsèquement très stable, les deux champs lasers étant définis par la même cavité optique. Mieux encore, ∆ν0 est précisément accordable est usant d'un élément bi-réfringent intra-cavité (non-montré ici), nous permettant d'explorer le régime de faible désaccord de fréquence proche de fR. On choisit ∆ν0 = 200 MHz afin d'éliminer les effets cohérents de saturation croisée dans le milieu actif ; sous cette condition, chaque champ laser interagit avec son propre réservoir d'inversion de population [11]. Les deux champs lasers sont couplés optiquement par une cavité de réinjection contenant une cellule de Bragg qui décale la fréquence optique diffractée d'une quantité fAO [12], et une lame quart-d'onde qui fait basculer la polarisation x sur la polarisation y après réflexion sur le miroir de réinjection. La fréquence de commande du Bragg fAO est accordable autour de 100 MHz. Il en résulte que le champ polarisé suivant x est réinjecté sur le champ polarisé suivant y, décalé d'une quantité 2fAO. Le désaccord ∆ν est alors défini par ∆ν = ∆ν0 - 2fAO. La figure 1(b) dépeint les fréquences pertinentes pour notre système, parmi lesquelles on trouve la fréquence des oscillations de relaxation fR. La puissance optique réinjectée (~ 10–5 de la puissance d'un mode laser) est fixée de telle sorte que la largeur de la plage d'accrochage est fA = 0,8 fR, avec fR = 70 kHz.
FIG 2. (a), (b) Séries temporelles expérimentales de I(t), for ∆ν = 0,85 fR et ∆ν = 0,85 fR, respectivement. (c), (d) Séries temporelles correspondantes de I(t) obtenues par intégration numérique des équations (2)–(5).
Quand ∆ν ≈ fR, le champ x, décalé en fréquence et basculé en polarisation, excites le champ y de manière résonante. En conséquence, d'importantes fluctuations apparaissent dans les séries temporelles du signal de battement I(t) = |Ex + Ey|2. Pour l'illustrer, nous montrons une série temporelle d'un régime auto-impulsionnel se produisant pour ∆ν = 1,05 fR [Fig. 2(a)], et une série temporelle chaotique se produisant pour ∆ν = 0,85 fR. Des instabilités similaires d'intensité ont suscité beaucoup d'intérêt et ont été rapportée en détail [13, 14]. Cependant, la dynamique de la phase relative quand l'intensité devient instable a reçu une attention moindre. Dans notre dispositif nous avons un accès aisé à la phase relative optique. À cette fin, on fait interférer les champ x et y sur une photodiode rapide placée derrière un polariseur. Si le champ y est verrouillé à la fréquence νx + 200 MHz, on s'attend à ce que le signal de battement I(t) contienne une oscillation rapide à 200 MHz, verrouillée en phase avec la seconde harmonique du signal RF appliqué à la cellule de Bragg. L'oscillation à 200 MHz sera fortement, mais comparativement très lentement, modulée par les fluctuations d'intensité se déroulant sur un temps beaucoup plus long ~ TR. Ainsi, la mesure de la phase Φ du signal d'interférence, relative à la phase de la seconde harmonique du signal RF, nous donne accès à la phase du champ y relative à celle du champ x réinjecté. En utilisant un oscilloscope numérique rapide (40 GS/s), nous pouvons calculer l'histogramme la phase relative Φ entre le signal issu de la photodiode et le générateur RF. Les données brutes sont présentées fig. 3. Chaque mesure de la phase Φ est obtenue en mesurant la valeur moyenne sur 100 périodes, c'est à dire pour une trace temporelle de 500 ns (100 / 200 MHz) ; chaque histogramme contient 5000 mesures de la phase. La figure 3(a) montre un histogramme de la phase quand ∆ν = 0,3 fA, à l'intérieur de la plage d'accrochage d'Adler. On obtient un pic relativement étroit, dont la largeur est en accord avec la dérive de fréquence du champ laser mesurée indépendamment, et qui vaut 0,4 kHz/s. Ce bruit est dû à des artefacts techniques (dérives mécanique ou provenant des fluctuations de la puissance de pompe). Pour ∆ν = 2 fA, bien en-dehors de la plage d'accrochage d'Adler, la dérive de la phase relative Φ induit un histogramme plat [3(b)]. Enfin, quand ∆ν = 1,33 fA, en dehors de la plage d'accrochage d'Adler, on obtient un histogramme de la phase plus large que [3(a)], mais la phase relative reste cependant bornée dans un intervalle plus petit que [–π; π] [3(c)], ce qui indique qu'une synchronisation se produit au-delà de fA. Cet histogramme est cohérent avec l'hypothèse d'une phase dépendante du temps, mais bornée, qui est le comportement théoriquement attendu, comme nous le montrons ci-après. Il est important de noter que cette dynamique de phase bornée n'apparait que pour d'importante fluctuations d'intensité [voir la figure 3(d), présentant la série temporelle de I(t) et la densité spectrale de puissance correspondante]. La phase bornée est même observée quand l'intensité devient chaotique, comme dans la figure 2(b).
FIG 3. Histogrammes de la phase Φ pour (a) ∆ν = 0,3 fA, (b) ∆ν = 2 fA, (c) ∆ν = 1,33 fA. Le centre des histogrammes a été taré par soucis de clareté. (d) Série temporelle de I(t) correspondant à l'histogramme (c). En insert : densité spectrale de puissance de I(t) centré sur 200 MHz.
Ces découvertes expérimentales sont à comparer aux prédictions du modèle bi-mode d'équations de population [10]. Une équation de type Adler peut être formulée pour la phase relative Φ des champs sous la forme :
À la différence de l'équation (1), ici la dynamique de phase dépend des amplitudes des oscillateurs. L'équation (2) doit être accompagnée des équations pour les intensités Ix, Iy et pour les réservoirs d'inversion de population Nx,Ny (associés aux états propres x et y du laser) :
Dans les équations (2)–(5), les dérivées temporelles se rapportent à un temps sans dimension rapporté au temps de vie des photons dans la cavité laser tc = 4,4 ns ; ε = tc / tp = 3,9 × 10–5, où tp est la demie-vie de l'inversion de population ; r = 1,2 est le taux de pompage : fA = √R3 / 2π = 5 × 10–4 est le paramètre de couplage ramené à une fréquence (qui est également la largeur de la plage d'accrochage d'Adler), avec R3 la réflectivité de la cavité de réinjection (l'efficacité de diffraction de la cellule de Bragg est contenue dans R3); β = 0,6 tient compte la saturation croisée dans le milieu actif. Du fait que le temps d'aller-retour dans la cavité de réinjection (3,3 ns) est beaucoup plus court que TR (14 µs), on peut considérer que la réinjection est immédiate. Nous avons également vérifier numériquement que les équations (2)–(5), incluant ce délai, produisaient les même résultats. Toutes les valeurs des paramètres sont déterminées expérimentalement ; aucun paramètre de notre modèle n'est posé arbitrairement. Comme on peut le voir dans la figure 2, l'intégration numérique des équations (2)–(5) reproduit bien la dynamique d'intensité du laser [Fig 2(c) et 2(d)].
FIG 4. (a) Diagramme de ⟨dΦ/dt × 1/2π⟩ versus ∆ν, obtenu par intégration numérique des équations (2)–(5).
La comparaison entre le modèle et l'expérience pour la dynamique de la phase est résumée dans la figure 4. Dans la figure 4(a), nous présentons la différence de fréquence moyenne calculée ⟨dΦ/dt × 1/2π⟩ en fonction de ∆ν. Pour O ≤ ∆ν ≤ fA, ⟨dΦ/dt⟩ = 0, c'est qui signifie que les deux fréquences sont verrouillées. Cette région correspond à la plage d'accrochage d'Adler. On voit qu'un région où ⟨dΦ/dt⟩ = 0, c'est à dire où les deux oscillateurs sont synchronisés, existe au-delà de fA, jusqu'à une fréquence que nous notons fB. Seules deux petites portions de cette région, autour de fA et fR, ne sont pas rigoureusement verrouillées. Pour aller plus loin, nous regardons les extrema de la phase XΦ de Φ(t), en fonction de ∆ν [Fig. 4(b)]. Nous observons le comportement suivant : tant que ∆ν ≤ fA, une solution stationnaire stable existe et le verrouillage de phase est atteint ; pour fA ≤ ∆ν ≤ fB, aucune solution stationnaire n'existe, Φ(t) oscille mais reste bornée, avec parfois des épisodes chaotiques, si bien que la verrouillage de fréquence persiste au-delà de la plage d'accrochage d'Adler fA jusqu'à fB. Pour finir, quand ∆ν ≥ fB, la phase Φ(t) dérive indéfiniment, et les deux oscillateurs ne sont plus synchronisés. Nous insistons sur le fait que dans la figure 4(b) les extrema de la phase Φ ne sont pas calculés sur la phase “déroulée” : Φ(t) est restreinte à l'intervalle [–π; π], ce qui a pour conséquence qu'une phase dérivante, non-bornée, parait être un signal en dent-de-scie, avec d'abrupts sauts verticaux au moment où Φ(t) atteint π [voir l'insert de la figure 4(b)]. On voit donc, pour ∆ν ≥ fB, des extrema locaux à –π et π alors que la phase n'est pas bornée. Dans la figure 4(c) nous comparons la valeur mesurée de l'écart-type σΦ de Φ à la valeur calculée à partir de notre modèle, en fonction de ∆ν. Les points expérimentaux sont calculés à partir d'histogrammes comme ceux de la figure 3. Notre modèle produit histogramme à deux pics pour la phase bornée [Fig. 4(b)], mais nous avons vérifié numériquement que cette structure disparait si on prend en compte la présence du bruit révélé par la figure 3(a). La théorie et l'expérience sont en bon accord ; la tendance générale de la courbe théorique est bien reproduite, de même que le comportement autour de fA et fR. L'existence et les limites de la synchronisation des fréquences moyennes au-delà de la plage d'accrochage d'Adler est clairement mis en évidence. Notons qu'aucun point expérimental ne figure au-delà de fB, simplement parce que les histogrammes sont alors comme dans la figure 3(b). Cela est cohérent avec le modèle. Dans la figure 4, les trois valeurs particulières fA, fR et fB du désaccord de fréquence apparaissent. Tout d'abord, l'étroite plage de déverrouillage autour de fA est due à la présence de saturation croisée entre les deux champs laser. Si β est posé égal à 0 dans le modèle, la transition du verrouillage de phase à la phase bornée se déroule continument via une bifurcation de Hopf, et la synchronisation est conservée au voisinage de fA. Deuxièmement, il est compréhensible qu'au voisinage de la résonance fR il existe une autre plage étroite de déverrouillage, car les fluctuations d'intensités sont importantes pour que le système garde sa stabilité. Enfin, concernant fB, nous notons que, contrairement à fA, ce n'est pas un point de bifurcation, mais cela correspond presque à la valeur pour laquelle la trajectoire de champ Ey dans le plan complexe entoure le point 0 [8].
En conclusion, nous avons démontré l'existence d'une région de synchronisation au-delà de la limite fA de l'équation d'Adler. De ce que nous en avons, cela constitue la première démonstration expérimentale d'un verrouillage de fréquence sans verrouillage de phase dans une paire d'oscillateurs couplés. Nous avons montré qu'entre fA et fB, où le verrouillage de phase n'est pas possible, les deux oscillateurs sont néanmoins capables de maintenir le verrouillage de phase. L'équation (2) offre une interprétation heuristique de ce phénomène : quand ∆ν > fA, le couplage lui-même n'est pas suffisant pour verrouiller en phase les oscillateurs. Comme ∆ν est proche de fR, la résonance augmente effectivement le couplage et restaure la synchronisation via les fortes fluctuations des amplitudes des oscillateurs. Expérimentalement, quand fA > fR, de telle sorte qu'aucune résonance n'est disponible en dehors dans la plage d'accrochage d'Adler, nous n'avons trouvé aucune preuve d'une dynamique de phase bornée. Cela confirme le rôle essentiel de la résonance dans l'établissement de la synchronisation.
Pour les études à venir, une charactérisation expérimentale et théorique systématique du comportement du système en fonction du désaccord et de l'intensité réinjectée (sur plusieurs ordres de grandeur) est souhaitable, dans le but de chercher d'autres régions de l'espace des paramètres où une phase bornée peut être observée. En effet, il est connu qu'une quantité suffisamment grande de lumière injectée dans le laser peut être une source d'oscillations et d'instabilités de l'intensité du laser, même quand ∆ν est dans la plage d'accrochage [15]. Les prédictions théoriques actuelles de dynamiques de phase bornée se rapportent précisément à ce régime de “couplage fort” [7, 8, 16], où les instabilités sont guidées par la quantité de signal injecté plutôt que par la résonance du système. Au contraire, aucune analyse théorique de la dynamique de phase n'existe pour le moment pour un régime de “couplage intermédiaire” [8] où fA ≈ fR. Pour finir, notons que nos observations peuvent être pertinentes pour les lasers à semi-conducteurs également, et trouver des applications pour les gyro-lasers à état solide [17]. Il pourrait également être intéressant d'observer l'effet d'un couplage résonnant retardé [18].
Ce travail a été en partie financé par Rennes Métropole et le Conseil Général de Bretagne.
Ceci est la traduction en français de mon article publié dans Physical Review Letters, au sujet de la synchronisation assistée par résonance dans des oscillateurs couplés : verrouillage de phase sans verrouillage de fréquence.
Auteurs : Jérémie Boudah Thévenin (Moi), Marco Romanelli, messieurs Marc Vallet et Marc Brunel (mes encadrants de thèse), ainsi que Thomas Erneux.
Résumé : nous démontrons expérimentalement le verrouillage de phase sans verrouillage de fréquence de deux oscillateurs non-linéaires couplés. Ce régime de synchronisation est obtenu pour deux modes couplés d'un laser, au-delà de la plage de verrouillage de phase déterminée par l'équation d'Adler, grâce à un mécanisme de résonance. Spécifiquement, nous montrons que les amplitudes de ces deux modes laser fluctuent fortement ce qui provoque la synchronisation de fréquence moyenne, même si les phases instantanées ne sont pas verrouillées. Nous présentons également un modèle théorique qui est en accord avec nos observations expérimentales.
La synchronisation, c'est à dire la capacité qu'ont deux oscillateurs couplés d'osciller à la même fréquence, est une propriété répandue voire omniprésente dans la nature, qui apparait tant dans les horloges biologiques, les réactions chimiques, les oscillateurs mécaniques ou électrique, que dans les lasers; juste pour mentionner quelques exemples bien connus [1]. Quand l'amplitude des oscillations est constante, les deux oscillateurs couplés peuvent être décrit par une unique équation pour leur phase relative Φ :
Où ∆ν est le désaccord entre les fréquences des deux oscillateurs et fA est la constante de couplage exprimé sous forme de fréquence. L'équation (1) fut originellement développée par Adler [2] pour un oscillateur électrique asservi à une référence externe et qui a prouvé depuis son utilité dans une large variété de situations. De récents exemples incluent des oscillateurs biologiques [3], la dynamique d'excitation des micro-particules de détection [4], ou les lasers à point quantique injectés [5]. L'équation d'Adler montre que le comportement de deux oscillateurs couplés dépend du ratio entre ∆ν et fA. Si |∆ν/fA| ≤ 1, une solution stable et stationnaire existe pour l'équation (1). A contrario, si |∆ν| excède fA, les deux oscillateurs ne peuvent se synchroniser et leur phase relative croit indéfiniment au cours du temps.
L'équation d'Adler se vérifie bien, dans la limite d'un faible couplage et d'un faible désaccord, pour les lasers couplés de classe A [6]. D'un autre coté, les investigations théoriques sur les lasers de classe B injectés [7, 8] pointent du doigt que l'équation (1) devrait également inclure la dynamique d'amplitude. De cette complexité dynamique accrue résulte l'existence d'un régime intermédiaire entre le verrouillage de phase et la dérive de phase (déverrouillage). Dans ce régime, appellé entrainement de phase, la phase relative n'est pas stationnaire; cependant, elle reste bornée. Cela signifie que les fréquences moyennes des oscillateurs sont verrouillées. Bien que l'entrainement de phase, c'est à dire le verrouillage de fréquence sans verrouillage de phase, est un genre de synchronisation universel (prédit par exemple pour les oscillateurs de Van der Pol couplés [9]), aucune preuve expérimentale de ce comportement n'a été rapportée, probablement parce qu'une claire discrimination par rapport au verrouillage de phase standard est délicate. Dans cette lettre, nous montrons que les lasers constituent un support expérimental pratique pour révéler cette dynamique d'entrainement de phase. Nous avons mesuré la phase optique entre deux champs laser couplés et trouvé qu'elle était bornée, c'est à dire que les fréquences moyennes des champs étaient synchronisées, au-delà de la limite de verrouillage de phase prédite par l'équation d'Adler. Notre observation expérimentale est fortement liée à l'existence d'une échelle de temps intrinsèque TR = 1/fR, caractéristique de la dynamique des lasers de classe B, où fR est la fréquence des oscillations de relaxation [6]. Nous avons trouvé que la synchronisation s'étend au-delà de la limite d'Adler quand les deux échelles de temps gouvernant la dynamique des lasers de classe B couplés, c'est à dire TR et T1 = 1/∆ν sont proches. Près de la résonance, les champs laser sont très sensibles au couplage, avec pour résultat que la synchronisation des fréquences moyennes est observée pour un couplage faible.
FIG 1. (a) Schéma expérimental. Un laser bi-fréquence (DFL) émet deux champs laser mono-modes, polarisés perpendiculairement, νx et νy. Le champ x est réinjecté dans le champ y après que sa fréquence soit augmentée de 2fAO et que sa polarisation soit tournée par une lame quart-d'onde (PR). Le signal de battement I(t) est détecté derrière un polariseur (P). (b) Schéma des fréquences impliquées. Le champ x et ses bandes d'oscillations de relaxation situées à ± fR sont décalés en fréquence de manière à être quasi-résonants avec le champ y.
Notre montage expérimental est décrit sur la figure 1(a). On utilise un laser à état solide bi-fréquence pompé par diode (laser Nd3+:YAG émettant à la longueur-d'onde de 1064 nm). Ce type de lasers nous donnent deux champs lasers monomode accordables en fréquence, correspondant aux deux modes propres de polarisation de la cavité laser [10]. L'élément-clé de ce système dans le contexte présent est que la différence de fréquence ∆ν0 = νy – νx des champs lasers “en boucle ouverte” Ex et Ey est intrinsèquement très stable, les deux champs lasers étant définis par la même cavité optique. Mieux encore, ∆ν0 est précisément accordable est usant d'un élément bi-réfringent intra-cavité (non-montré ici), nous permettant d'explorer le régime de faible désaccord de fréquence proche de fR. On choisit ∆ν0 = 200 MHz afin d'éliminer les effets cohérents de saturation croisée dans le milieu actif ; sous cette condition, chaque champ laser interagit avec son propre réservoir d'inversion de population [11]. Les deux champs lasers sont couplés optiquement par une cavité de réinjection contenant une cellule de Bragg qui décale la fréquence optique diffractée d'une quantité fAO [12], et une lame quart-d'onde qui fait basculer la polarisation x sur la polarisation y après réflexion sur le miroir de réinjection. La fréquence de commande du Bragg fAO est accordable autour de 100 MHz. Il en résulte que le champ polarisé suivant x est réinjecté sur le champ polarisé suivant y, décalé d'une quantité 2fAO. Le désaccord ∆ν est alors défini par ∆ν = ∆ν0 - 2fAO. La figure 1(b) dépeint les fréquences pertinentes pour notre système, parmi lesquelles on trouve la fréquence des oscillations de relaxation fR. La puissance optique réinjectée (~ 10–5 de la puissance d'un mode laser) est fixée de telle sorte que la largeur de la plage d'accrochage est fA = 0,8 fR, avec fR = 70 kHz.
FIG 2. (a), (b) Séries temporelles expérimentales de I(t), for ∆ν = 0,85 fR et ∆ν = 0,85 fR, respectivement. (c), (d) Séries temporelles correspondantes de I(t) obtenues par intégration numérique des équations (2)–(5).
Quand ∆ν ≈ fR, le champ x, décalé en fréquence et basculé en polarisation, excites le champ y de manière résonante. En conséquence, d'importantes fluctuations apparaissent dans les séries temporelles du signal de battement I(t) = |Ex + Ey|2. Pour l'illustrer, nous montrons une série temporelle d'un régime auto-impulsionnel se produisant pour ∆ν = 1,05 fR [Fig. 2(a)], et une série temporelle chaotique se produisant pour ∆ν = 0,85 fR. Des instabilités similaires d'intensité ont suscité beaucoup d'intérêt et ont été rapportée en détail [13, 14]. Cependant, la dynamique de la phase relative quand l'intensité devient instable a reçu une attention moindre. Dans notre dispositif nous avons un accès aisé à la phase relative optique. À cette fin, on fait interférer les champ x et y sur une photodiode rapide placée derrière un polariseur. Si le champ y est verrouillé à la fréquence νx + 200 MHz, on s'attend à ce que le signal de battement I(t) contienne une oscillation rapide à 200 MHz, verrouillée en phase avec la seconde harmonique du signal RF appliqué à la cellule de Bragg. L'oscillation à 200 MHz sera fortement, mais comparativement très lentement, modulée par les fluctuations d'intensité se déroulant sur un temps beaucoup plus long ~ TR. Ainsi, la mesure de la phase Φ du signal d'interférence, relative à la phase de la seconde harmonique du signal RF, nous donne accès à la phase du champ y relative à celle du champ x réinjecté. En utilisant un oscilloscope numérique rapide (40 GS/s), nous pouvons calculer l'histogramme la phase relative Φ entre le signal issu de la photodiode et le générateur RF. Les données brutes sont présentées fig. 3. Chaque mesure de la phase Φ est obtenue en mesurant la valeur moyenne sur 100 périodes, c'est à dire pour une trace temporelle de 500 ns (100 / 200 MHz) ; chaque histogramme contient 5000 mesures de la phase. La figure 3(a) montre un histogramme de la phase quand ∆ν = 0,3 fA, à l'intérieur de la plage d'accrochage d'Adler. On obtient un pic relativement étroit, dont la largeur est en accord avec la dérive de fréquence du champ laser mesurée indépendamment, et qui vaut 0,4 kHz/s. Ce bruit est dû à des artefacts techniques (dérives mécanique ou provenant des fluctuations de la puissance de pompe). Pour ∆ν = 2 fA, bien en-dehors de la plage d'accrochage d'Adler, la dérive de la phase relative Φ induit un histogramme plat [3(b)]. Enfin, quand ∆ν = 1,33 fA, en dehors de la plage d'accrochage d'Adler, on obtient un histogramme de la phase plus large que [3(a)], mais la phase relative reste cependant bornée dans un intervalle plus petit que [–π; π] [3(c)], ce qui indique qu'une synchronisation se produit au-delà de fA. Cet histogramme est cohérent avec l'hypothèse d'une phase dépendante du temps, mais bornée, qui est le comportement théoriquement attendu, comme nous le montrons ci-après. Il est important de noter que cette dynamique de phase bornée n'apparait que pour d'importante fluctuations d'intensité [voir la figure 3(d), présentant la série temporelle de I(t) et la densité spectrale de puissance correspondante]. La phase bornée est même observée quand l'intensité devient chaotique, comme dans la figure 2(b).
FIG 3. Histogrammes de la phase Φ pour (a) ∆ν = 0,3 fA, (b) ∆ν = 2 fA, (c) ∆ν = 1,33 fA. Le centre des histogrammes a été taré par soucis de clareté. (d) Série temporelle de I(t) correspondant à l'histogramme (c). En insert : densité spectrale de puissance de I(t) centré sur 200 MHz.
Ces découvertes expérimentales sont à comparer aux prédictions du modèle bi-mode d'équations de population [10]. Une équation de type Adler peut être formulée pour la phase relative Φ des champs sous la forme :
À la différence de l'équation (1), ici la dynamique de phase dépend des amplitudes des oscillateurs. L'équation (2) doit être accompagnée des équations pour les intensités Ix, Iy et pour les réservoirs d'inversion de population Nx,Ny (associés aux états propres x et y du laser) :
Dans les équations (2)–(5), les dérivées temporelles se rapportent à un temps sans dimension rapporté au temps de vie des photons dans la cavité laser tc = 4,4 ns ; ε = tc / tp = 3,9 × 10–5, où tp est la demie-vie de l'inversion de population ; r = 1,2 est le taux de pompage : fA = √R3 / 2π = 5 × 10–4 est le paramètre de couplage ramené à une fréquence (qui est également la largeur de la plage d'accrochage d'Adler), avec R3 la réflectivité de la cavité de réinjection (l'efficacité de diffraction de la cellule de Bragg est contenue dans R3); β = 0,6 tient compte la saturation croisée dans le milieu actif. Du fait que le temps d'aller-retour dans la cavité de réinjection (3,3 ns) est beaucoup plus court que TR (14 µs), on peut considérer que la réinjection est immédiate. Nous avons également vérifier numériquement que les équations (2)–(5), incluant ce délai, produisaient les même résultats. Toutes les valeurs des paramètres sont déterminées expérimentalement ; aucun paramètre de notre modèle n'est posé arbitrairement. Comme on peut le voir dans la figure 2, l'intégration numérique des équations (2)–(5) reproduit bien la dynamique d'intensité du laser [Fig 2(c) et 2(d)].
FIG 4. (a) Diagramme de ⟨dΦ/dt × 1/2π⟩ versus ∆ν, obtenu par intégration numérique des équations (2)–(5).
La comparaison entre le modèle et l'expérience pour la dynamique de la phase est résumée dans la figure 4. Dans la figure 4(a), nous présentons la différence de fréquence moyenne calculée ⟨dΦ/dt × 1/2π⟩ en fonction de ∆ν. Pour O ≤ ∆ν ≤ fA, ⟨dΦ/dt⟩ = 0, c'est qui signifie que les deux fréquences sont verrouillées. Cette région correspond à la plage d'accrochage d'Adler. On voit qu'un région où ⟨dΦ/dt⟩ = 0, c'est à dire où les deux oscillateurs sont synchronisés, existe au-delà de fA, jusqu'à une fréquence que nous notons fB. Seules deux petites portions de cette région, autour de fA et fR, ne sont pas rigoureusement verrouillées. Pour aller plus loin, nous regardons les extrema de la phase XΦ de Φ(t), en fonction de ∆ν [Fig. 4(b)]. Nous observons le comportement suivant : tant que ∆ν ≤ fA, une solution stationnaire stable existe et le verrouillage de phase est atteint ; pour fA ≤ ∆ν ≤ fB, aucune solution stationnaire n'existe, Φ(t) oscille mais reste bornée, avec parfois des épisodes chaotiques, si bien que la verrouillage de fréquence persiste au-delà de la plage d'accrochage d'Adler fA jusqu'à fB. Pour finir, quand ∆ν ≥ fB, la phase Φ(t) dérive indéfiniment, et les deux oscillateurs ne sont plus synchronisés. Nous insistons sur le fait que dans la figure 4(b) les extrema de la phase Φ ne sont pas calculés sur la phase “déroulée” : Φ(t) est restreinte à l'intervalle [–π; π], ce qui a pour conséquence qu'une phase dérivante, non-bornée, parait être un signal en dent-de-scie, avec d'abrupts sauts verticaux au moment où Φ(t) atteint π [voir l'insert de la figure 4(b)]. On voit donc, pour ∆ν ≥ fB, des extrema locaux à –π et π alors que la phase n'est pas bornée. Dans la figure 4(c) nous comparons la valeur mesurée de l'écart-type σΦ de Φ à la valeur calculée à partir de notre modèle, en fonction de ∆ν. Les points expérimentaux sont calculés à partir d'histogrammes comme ceux de la figure 3. Notre modèle produit histogramme à deux pics pour la phase bornée [Fig. 4(b)], mais nous avons vérifié numériquement que cette structure disparait si on prend en compte la présence du bruit révélé par la figure 3(a). La théorie et l'expérience sont en bon accord ; la tendance générale de la courbe théorique est bien reproduite, de même que le comportement autour de fA et fR. L'existence et les limites de la synchronisation des fréquences moyennes au-delà de la plage d'accrochage d'Adler est clairement mis en évidence. Notons qu'aucun point expérimental ne figure au-delà de fB, simplement parce que les histogrammes sont alors comme dans la figure 3(b). Cela est cohérent avec le modèle. Dans la figure 4, les trois valeurs particulières fA, fR et fB du désaccord de fréquence apparaissent. Tout d'abord, l'étroite plage de déverrouillage autour de fA est due à la présence de saturation croisée entre les deux champs laser. Si β est posé égal à 0 dans le modèle, la transition du verrouillage de phase à la phase bornée se déroule continument via une bifurcation de Hopf, et la synchronisation est conservée au voisinage de fA. Deuxièmement, il est compréhensible qu'au voisinage de la résonance fR il existe une autre plage étroite de déverrouillage, car les fluctuations d'intensités sont importantes pour que le système garde sa stabilité. Enfin, concernant fB, nous notons que, contrairement à fA, ce n'est pas un point de bifurcation, mais cela correspond presque à la valeur pour laquelle la trajectoire de champ Ey dans le plan complexe entoure le point 0 [8].
En conclusion, nous avons démontré l'existence d'une région de synchronisation au-delà de la limite fA de l'équation d'Adler. De ce que nous en avons, cela constitue la première démonstration expérimentale d'un verrouillage de fréquence sans verrouillage de phase dans une paire d'oscillateurs couplés. Nous avons montré qu'entre fA et fB, où le verrouillage de phase n'est pas possible, les deux oscillateurs sont néanmoins capables de maintenir le verrouillage de phase. L'équation (2) offre une interprétation heuristique de ce phénomène : quand ∆ν > fA, le couplage lui-même n'est pas suffisant pour verrouiller en phase les oscillateurs. Comme ∆ν est proche de fR, la résonance augmente effectivement le couplage et restaure la synchronisation via les fortes fluctuations des amplitudes des oscillateurs. Expérimentalement, quand fA > fR, de telle sorte qu'aucune résonance n'est disponible en dehors dans la plage d'accrochage d'Adler, nous n'avons trouvé aucune preuve d'une dynamique de phase bornée. Cela confirme le rôle essentiel de la résonance dans l'établissement de la synchronisation.
Pour les études à venir, une charactérisation expérimentale et théorique systématique du comportement du système en fonction du désaccord et de l'intensité réinjectée (sur plusieurs ordres de grandeur) est souhaitable, dans le but de chercher d'autres régions de l'espace des paramètres où une phase bornée peut être observée. En effet, il est connu qu'une quantité suffisamment grande de lumière injectée dans le laser peut être une source d'oscillations et d'instabilités de l'intensité du laser, même quand ∆ν est dans la plage d'accrochage [15]. Les prédictions théoriques actuelles de dynamiques de phase bornée se rapportent précisément à ce régime de “couplage fort” [7, 8, 16], où les instabilités sont guidées par la quantité de signal injecté plutôt que par la résonance du système. Au contraire, aucune analyse théorique de la dynamique de phase n'existe pour le moment pour un régime de “couplage intermédiaire” [8] où fA ≈ fR. Pour finir, notons que nos observations peuvent être pertinentes pour les lasers à semi-conducteurs également, et trouver des applications pour les gyro-lasers à état solide [17]. Il pourrait également être intéressant d'observer l'effet d'un couplage résonnant retardé [18].
Ce travail a été en partie financé par Rennes Métropole et le Conseil Général de Bretagne.
Voilà je compte partir en pèlerinage au long cours, à la fin de ma thèse, et je suis en train de me préparer. L'idée c'est de partir de ma Bretagne natale, de traverser la France jusqu'à la franche-comté, puis passer en Suisse au Cern (Genève) en passant par les alpes, puis à Venise, puis voir la Croatie, aller à Budapest, puis à Talenka ! (Talne, Ukraine), puis je veux voir la Lettonie, le pays le plus geek de l’Europe, puis je veux voir les pays scandinaves, je veux en voir aussi un peu plus de l'Allemagne, je veux voir Amsterdam, l’Angleterre et l’Irlande. Bref plus de 10000 Km. Je ne pourrai pas tout faire à pied bien sûr !
>> Mon itinéraire probable sur Google Maps
D'abord j'aime voyager, le virus m'a été transmis par mes parents également routards de la première heure. Ce goût de voyage s'était un peu endormi pendant mes études, parce qu'on a créé une association, parce que je suis tombé amoureux. Mais maintenant que cet amour est parti, et que j'ai recommencé à voyager (notamment pendant mon doctorat), hé bien je sens que le moment est venu. J'y pensais déjà après le Bac, j'y ai repensé après la licence, à chaque fois j'ai remis ce projet à plus tard. Et là encore, on me dit qu'après ma thèse il est mal vu de prendre une année sabbatique. Je ne sais pas si ça durera une année, mais je prend le risque.
Par ailleurs, c'est aussi la conséquence logique de la dizaine d'année que j'ai passé influencé par les idées d'anarchie (pas le chaos), de décroissance, de beauté omniprésente. La fin de l'ère de l'énergie abondante et bon marché est à mon avis le moment pour tirer certaines conclusions sur notre mode de vie. La première, la plus fondamentale : nous vivons dans une relation d'interdépendance avec notre environnement (fini !) et avec les autres êtres vivants (qui nous nourrissent, nous soignent, nous habillent, nous tiennent compagnie). La seconde, corolaire de la première : la vie est courte, et il est hors de question de rester malheureux dans un mode de vie qui ne nous plaît pas quand d'autres modes de vie, préférables, soutenables, sont à notre portée.
La fin de l'énergie abondante va être le déclencheur de transformations radicales des sociétés. Les technologies, dont celles que j'essaie de développer, en sont gourmandes. Et les scientifiques n'ont pas réussi à trouver un remplaçant valable au pétrole et à la fission nucléaire (la fusion nucléaire arrivera-t-elle assez tôt ? et à quel prix ?). Sans transport de masse, sans chauffage de masse, sans textiles/joujou/... de masse, sans télécommunication de masse, sans hôpitaux super-équipés. Que restera-t-il du paradis occidental ? Se rajoute à cette crise énergétique une prise de conscience globale que l'individualisme, l'obsolescence programmé, le travail, qui sont les valeurs véhiculées par nos sociétés, sont impuissants à pourvoir aux besoins de plus grand nombre, et à nous rendre heureux et libres. En fait, nous assistons à l'exact contraire.
En me coupant du confort, de la sécurité, et des préjugés habituels, j'espère être à même de comprendre ce nouveau monde qui se profile. Et voici comme je vais m'y préparer.
Bon d'abord je vais vider mon sac en vous montrant comment je compte m'équiper.
Quand on fait de la marche à pied son activité principale, le soin des pieds devient évidemment prédominant. Il faut bien choisir ses chaussures (et ses chaussettes). Par dessus tout, les pieds doivent rester aussi secs que possible pour éviter les moisissures, les champignons, mais également le gel par grands froids (et aussi pour le confort tout simplement). À mon sens, la combinaison idéale est donc d'avoir des chaussettes résistantes mais surtout respirantes, et des chaussures qui évacue au mieux l'humidité, sans laisser l'eau rentrer. Les textiles/plastiques qui permettent cela sont sensibles à la poussière. Pour cela et pour plein d'autres raisons, nettoyer fréquemment vos chaussures !
Un conseil : prenez des chaussures au moins une demie-pointure au-dessus de votre taille habituelle, car ce qui est chaud gonfle. Personnellement, j'ai choisit des Salomon Quest GoreTeX, qui sont juste idéales à mes yeux (quoiqu'un peu chaude en été). Avant d'acheter le matériel : n'hésitez pas à passer beaucoup de temps sur les sites généralistes (decathlon.fr, auvieuxcampeur.fr) pour voir les retours d'utilisation des produits. Pour savoir quoi emmener en voyage cela dépend bien sûr de la durée et de la difficulté du trajet.
Je dirais qu'il y a 4 type de randonnée/raid :
Dimanche après-midi, après 3 jours intenses (comprenez bien arrosés d'eaux de pluie et de vie) au concours hippique d'Hennebont, je me suis dit que tenter le retour à pied serait un bon premier entrainement pour mon pèlerinage d'un an autour de l’Europe, et qu'il me permettrait de tester mon matériel et ma motivation : mission accomplie
Je suis parti le dimanche après-midi peu après que la pluie ait cessée, en pensant que je ferai la route sous la flotte, mais les cieux furent clément. J'ai d'abord traversé Hennebont en en profitant pour visiter la cité médiévale et une expo de peintre amateurs. C'est peu après que les ennuis ont commencés ;-)
En quittant Hennebont, je me suis retrouvé devant des croisements qui n'étais pas sur ma carte et ma boussole, assez peu précise, ne m'a pas été très utile... Je me suis donc pommé au plein milieu des champs ! Finalement au bout d'une heure je suis tombé un peu par hasard sur un petit bled appelé caudan, qui par chance était sur la carte et d'où j'ai pu repartir... Il y a d'ailleurs un truc assez étrange là-bas : un monument qui commémore la reddition des armées allemandes... avec dessus plein de pin's de vieilles bagnoles !
Bon an mal an je suis arrivé à Pont-Scorff et sa rivière où j'ai pu me désaltérer (j'avais déjà presque entièrement bu le litre que j'avais emporté !), me laver et me rafraichir. Puis en continuant ma route, j'ai croisé la superbe église de Pont-Scorff où il y avait un concert de harpe celtique assez sympa mais trop mou à mon goût. À ce moment une quinzaine de tracteurs me sont passer devant, et le dernier a perdu une cale, ce qui bloquait la longue file de tuture qui suivait, heureusement super-boudah était là ! ^^
Je commençait déjà à fatiguer, alors je me suis mis en quête d'un endroit où planté la tente, mais je n'ai finalement trouvé un lieu suffisamment peu habité que 2 km après la sortie de Pont-Scorff, il était 20h. Je me suis arrêté devant un champ d'herbes hautes où il y avait une seule vache en train de lécher la tête de son veau, trop meugnon ! Comme il y avait la baraque du paysan en vue, j'ai planté ma tente dans le coin du champ le moins exposé (et accessoirement le plus loin de la route). Je l'ai ensuite un peu camouflé avec les herbes qu'il y avait autour (les bords de ma tente sont oranges fluo, c'est pas génial pour rester discret). Finalement, après m'être allongé un peu, j'ai fait quelques étirements et je suis resté regarder le coucher de soleil (et de la vache et son veau à quelques mètres de moi).
J'ai halluciné le nombre d'insecte et d'animaux qui se mettent à bouger quand on reste immobile et silencieux plus de 10 minutes : un hérisson à tenter de sodomiser ma tente (j'ai dû le faire fuir, je voulais pas qu'il la perce), il y avait plein de lucioles allumées alors qu'il faisait encore jour, et à à peine quelques centimètres de ma tête (seule partie en dehors de la tente), a commencé à bouger la chenille la plus étrange que j'ai vu : un espèce d'oursin noir et allongé, avec des interstices d'un jaune pétant. flippant. Je me suis finalement endormi vers 22h en écoutant du Neil Young et en mettant mon réveil à 6h du matin pour partir avant que le paysan ne se réveille...
Je me réveille en crevant de chaud dans mon sarcophage... il était déjà 8h ! j'avais pas dû entendre le réveil sonner. Je plis bagage, je mange un pitch et je finis ma bouteille d'eau. Je laisse finalement ma vache et son veau à 8h30. Pendant les 3 premières heures, pas réveillé, j'avais à peine conscience d'où j'allais, j'étais en pilote automatique. à un moment je croise une boulangerie ou j’espérais trouver à manger et à boire, mais elle étais fermée pour les vacances... c'est seulement en arrivant vers midi à quimperlé que j'ai pu me restaurer. Entre temps, j'avais passé la frontière du Finistère !
Quimperlé c'est bof bof... la ville a plein de monuments jolis, et j'ai vu plein de scout qui faisaient le pèlerinage de St-Jacques de Compostelle. Mais à part ça, rien. Les gens se regardent encore moins les uns les autres que dans les autres villes que je connais. Et puis c'est surtout des vieux, ça doit pas être une ville super agréable à vivre.
Je me suis donc arrêter dans une supérette où j'ai pris 1,5 L d'ice tea et une salade piémontaise... c'est drôle hein quand on a faim, tout ce qu'on mange est bien meilleur ! bien sûr ç'a pas loupé, j'ai sonné au portique en sortant, trop gêné ! En fait c'était l'antivol de mon sac à dos et de mon sac de couchage décathlon ! Pensez bien à les retirer pour éviter une fouille de votre linge sale devant les autres clients médusés. Ce sont des rectangles de tissus blancs marqués d'un ciseau, qui sont souvent derrière l'étiquette... Je les avais pas vu...
J'ai attendu d'être sorti de Quimperlé pour manger, je me suis arrêter derrière une petite chapelle près de la voie express. Devant moi, un jardin à la pelouse et les arbustes taillés au millimètre. Au milieu du jardin, un puits. Sur le puits, trois chèvres (vivantes), immobiles, qui sont rester me fixer pendant tout mon repas, tandis que je leur faisait un regard du genre “nan je vous en laisserai pas !”
À chaque fois que je me suis arrêté, même cinq minutes, j'ai pris le temps d'enlever chaussures et chaussettes, ça fait trop du bien. C'est seulement sur les derniers kilomètres que j'étais pressés de finir que j'ai pas pris le temps, et paf une cloque !
Le début d'aprem a été un peu ennuyeux, juste une série de route qui se ressemblaient, en plus je transpirait comme un bœuf sous la cagnard et alors que j'étais en pleine digestion. J'ai fini mon 1,5L d'ice tea à 15h, et il me restait encore au moins 2 heures à tenir. La je suis arrivé à un bled ma foi fort pittoresque, à à peine 15 bornes de chez moi, plein de petit jardin, de petit muret de pierre, et avec une fontaine ! ouf sauvé...
La fin du périple fut de même, sauf que je me suis encore perdu, et qu'au final je me suis retrouvé à Kernével où j'en ai profité pour faire une overdose de mûres sur le bord de la route, et pour aller voir ma grand-mère qui habitait sur le chemin. À partir de là, j'ai dû faire des pauses tout les 500 m parce que mon entrejambes commençait à chauffer XD
Finalement, après 12h de marche, j'aperçois ma maison !
Au bilan, si j'avais une leçon à retenir de tout ça c'est : prendre beaucoup plus d'eau ! Et puis aussi, les voitures sont vraiment la nuisance sonore la plus importante dans notre société, et à en juger par l'incroyable quantité de déchets sur les routes, certains automobilistes sont vraiment des porcs !
Bon en tout cas, je suis arrivé en pleine forme alors que j'étais parti fatigué, même si j'ai eu des courbatures le lendemain. Et je sais aussi qu'il est largement possible de faire 40km en un jour...