Note : la méthode de Newton pour les dérivées
vendredi 6 mai 2016 à 20:48Juste deux extraits du bouquin « Zero, the biography of a dangerous idea », de Charles Seife.
Ici, pour la méthode que Newton a inventé pour calculer des variations, et qui plus tard deviendront les dérivées en math (Newton a inventé les dérivées, les intégrales, bref, une bonne partie des maths) :
« Newton's style of differentiation was based upon fluxions of mathematical expressions that are called fluents.
As an example of Newton’s fluxions, take the equation y=x²+x+1.
In this equation, the fluents are y and x; Newton supposed that y and x are changing, of flowind, as time progresses.
Theire rate of change — their fluxions — are denoted by y' and x' respectively.
Newton's method of differentiation was based on a notation trick: he let the fluxions change, but he only let them change infinitesimally. Essentially, he geve them no time to flow. In Newton's notation, y would change in that instan to (y+oy') while x changes to (x+ox'). (The letter o represented the amount of time that had passed; it was almost zero, but not quite, as we shall see.) The equation then becomes:
(y+oy') = (x+ox')² + (x+ox') + 1
Multiplying out the (x+ox')² term gives us:
y + oy' = x² + 2x(ox') + (ox')² + x + ox' + 1
Rearranging the termes yelds:
y + oy' = (x² + x + 1) + 2x(ox') + x + ox' + (ox')²
Since y = x²+x+1, we can substract y from the left side and x² + x + 1 from the right. That leaves us with:
oy' = 2x(ox') + ox' + (ox')²
Now comes the dirty trick. Newton declared that since ox' was really, really small, (ox')² was even smaller: it vanished. In essence, it was zero and could be ignored. That gives us:
oy' = 2x(ox') + ox'
Which means that (oy')/(ox') = 2x + 1.
[…] »
En gros, en faisant ça, on retrouve la dérivée : dy/dx = 2x+1 est bien la dérivée de y = x²+x+1 par rapport à x.
On peut faire la même chose avec d’autres fonctions : par exemple exp(x) : essayez ça marche !
La méthode de Newton est simplement géniale.
Alors il est possible que je n’ai rien suivi en cours de math, mais je pense qu’il faudrait utiliser cette méthode pour expliquer les dérivées, au moins en première approximation. Déjà, en disant qu’on fait varier x et y au fil du temps comme le disait Newton et en prenant un temps très très court, on peut mettre des choses concrètes sur quelque chose est totalement abstrait à l’âge où on enseigne ça. Ensuite, cette méthode permet de calculer des dérivées avec le niveau de math de 4e, ce qui est génial !
Note :La notation « x' » n’était pas utilisée par Newton. Newton utilisait la notation « x point » (un point au dessus du x, ou du y : je ne sais pas la faire au clavier).
Pour la notation « dy/dx », ou « x' » (x prime), il faut attendre Leibniz.
Enfin, j’ajoute un autre passage, que je savais, mais dit comme c’est ici c’est tellement plus simple à comprendre :
« Differential equations are not like the everyday equations that we are familiar with. An everyday equation is like a machine; you feed in numbers into the machine and out pops another number. A differential equation is also like a machine, but this time you put in equations into the machine and out pops new equations. Plug in an equation that describes the condition of the problem and out pops the equation that encodes the answer for what you seek. »
(PS : puisque je vous dis qu’il faut lire les publications (traduites ou non) des grands scientifiques : Newton, Faraday, Einstein…)
Ici, pour la méthode que Newton a inventé pour calculer des variations, et qui plus tard deviendront les dérivées en math (Newton a inventé les dérivées, les intégrales, bref, une bonne partie des maths) :
« Newton's style of differentiation was based upon fluxions of mathematical expressions that are called fluents.
As an example of Newton’s fluxions, take the equation y=x²+x+1.
In this equation, the fluents are y and x; Newton supposed that y and x are changing, of flowind, as time progresses.
Theire rate of change — their fluxions — are denoted by y' and x' respectively.
Newton's method of differentiation was based on a notation trick: he let the fluxions change, but he only let them change infinitesimally. Essentially, he geve them no time to flow. In Newton's notation, y would change in that instan to (y+oy') while x changes to (x+ox'). (The letter o represented the amount of time that had passed; it was almost zero, but not quite, as we shall see.) The equation then becomes:
(y+oy') = (x+ox')² + (x+ox') + 1
Multiplying out the (x+ox')² term gives us:
y + oy' = x² + 2x(ox') + (ox')² + x + ox' + 1
Rearranging the termes yelds:
y + oy' = (x² + x + 1) + 2x(ox') + x + ox' + (ox')²
Since y = x²+x+1, we can substract y from the left side and x² + x + 1 from the right. That leaves us with:
oy' = 2x(ox') + ox' + (ox')²
Now comes the dirty trick. Newton declared that since ox' was really, really small, (ox')² was even smaller: it vanished. In essence, it was zero and could be ignored. That gives us:
oy' = 2x(ox') + ox'
Which means that (oy')/(ox') = 2x + 1.
[…] »
En gros, en faisant ça, on retrouve la dérivée : dy/dx = 2x+1 est bien la dérivée de y = x²+x+1 par rapport à x.
On peut faire la même chose avec d’autres fonctions : par exemple exp(x) : essayez ça marche !
La méthode de Newton est simplement géniale.
Alors il est possible que je n’ai rien suivi en cours de math, mais je pense qu’il faudrait utiliser cette méthode pour expliquer les dérivées, au moins en première approximation. Déjà, en disant qu’on fait varier x et y au fil du temps comme le disait Newton et en prenant un temps très très court, on peut mettre des choses concrètes sur quelque chose est totalement abstrait à l’âge où on enseigne ça. Ensuite, cette méthode permet de calculer des dérivées avec le niveau de math de 4e, ce qui est génial !
Note :La notation « x' » n’était pas utilisée par Newton. Newton utilisait la notation « x point » (un point au dessus du x, ou du y : je ne sais pas la faire au clavier).
Pour la notation « dy/dx », ou « x' » (x prime), il faut attendre Leibniz.
Enfin, j’ajoute un autre passage, que je savais, mais dit comme c’est ici c’est tellement plus simple à comprendre :
« Differential equations are not like the everyday equations that we are familiar with. An everyday equation is like a machine; you feed in numbers into the machine and out pops another number. A differential equation is also like a machine, but this time you put in equations into the machine and out pops new equations. Plug in an equation that describes the condition of the problem and out pops the equation that encodes the answer for what you seek. »
(PS : puisque je vous dis qu’il faut lire les publications (traduites ou non) des grands scientifiques : Newton, Faraday, Einstein…)