Comme promis, voici quelques petits trucs plus ou moins connus pour calculer rapidement de tête.

Je vous avais promis un article ou je rassemblerai les astuces pour compter facilement de tête. Allons-y !

Multiplications et Divisions

• Multiplication par 5 : on multiplie par 10 (facile) et on divise par 2 (facile aussi). Exemple : 39×5 = 390 ÷ 2 = 195.
• Division par 2 : Je sais pas si c'est moi ou si tout le monde fait ainsi, mais pour ça, je décompose le nombre. Ainsi pour diviser 396 par 2, je compte 396÷2 = (300+90+6)÷2 et là c'est très simple, ça fait 150+45+3 = 198.
• Multiplication par 25. On sait que 25, c'est 100/4. Donc on multiplie par 100 et on divise par 4. Exemple : 128×25=12800/4 = (12000+800)÷4 = 3000+200 = 3200.
• Multiplication par 11. Celle ci, tout le monde la connait depuis le CP : un nombre à deux chiffres multiplié par 11 est ce nombre avec entre les deux chiffres, la somme des deux chiffres. Exemple : 11×13=143 car 4=1+3 (les 1 et 3 proviennent du 13). Un autre : 11×72=792.
  En parlant du 11, on voit une belle propriété :
  
  • 11² = 121
  • 111² = 12 321
  • 1 111² = 1 234 321
  • 11 111² = 123 454 321
  • …
  
  
• Les carrés des nombres finissant par 5 (15², 25², 35², …) : on prend le nombre des dizaines du premier nombre que l'on multiplie par le nombre des dizaines du second augmenté de 1. Par exemple : 15×15 se calcul par 1×(1+1) que l'on met devant 25 soit 225. Un autre : 35×35 donne 3×(3+1) que l'on met devant 25 ce qui donne : 1225.
  Et ça marche aussi pour des nombres plus grands : 2005×2005 donne 200×201 que l'on met devant 25 soit : 4 020 025
• Multiplication par 9 : on sait que 9 = 10-1. On multiplie par 10 le nombre et on le soustrait une fois. Ainsi 9×15 ça fait 150-15 = 135.
• Le carré de n'importe quel nombre de 2 chiffres. Là, je décompose avec l'identité remarquable : (a+b)² = a²+b² + 2ab.
  Ainsi 34² donne 30²+4²+4×30×2 = 900+16+240 = 1156. Si vous ne connaissez par 30², faites 3²×100 :-).
  Bien entendu, tout ça se fait de tête, c'est bien plus rapide qu'avec la calculette.
• Celle ci, c'est pas vraiment une règle de calcul, mais une remarque.
  On voit que 13² = 169. Maintenant, inversez les chiffres du 13, ce qui donne 31 et 31² = 961, ce qui est 169 à l'envers. Ça marche avec 10, 11, 12 et 13.
  De plus, si vous connaissez 13², alors vous n'aurez pas de mal à trouver 14², car il suffit d'inverser les deux derniers chiffres : 13²=169 et 14²=196.

Additions

Je passerais sur le +9 qui vaut +10–1, mais je vous donne ma technique pour additionner des nombres plus grands, il ne faut pas commencer par les unités. Mais par l'autre coté. Par exemple, dans 351+512 je préfère calculer comme on prononce les snombres : en commençant par les centaines, puis les dizaines, puis les unités. ça donne 863.
Bien entendu, ici il n'y a pas de retenus, mais il faut les prendre en compte.

Dans les calculs de plus de deux termes, par commutativité, on regroupe ce qui donne des choses simples.
Ainsi 23+4+2+16+7+38 = (23+7)+(38+2)+(16+4) = 30+40+20 = 90. C'est connu mais très pratique.

Un autre truc vraiment tout bête, pour la soustraction : 34-56 = –(56–34). Je met le plus grand devant, c'est alors plus facile à calculer. Le résultat est simplement –22.

N’hésitez pas à faire plus de calcul, mais des calculs plus simples : 998+456 par exemple : on fait 1000+456–2 = 1 454… Ce genre de réflexe vient avec l’entrainement : vous arriverez peu à peu à repérer les simplifications à effectuer.

Les constante

Juste quelques valeurs comme ça, bien pratiques à savoir (plus rapide pour les calculs approchés) :

• Pi = π ≈3,1416
• Phi = φ ≈ 1,618 (le nombre d'or, donné par (1+racine(5))/2)
• e ≈ 2,718 (constant d'Euler, donné par exp(1))
• racine(2) ≈ 1,414
• log(2) ≈ 0,3. Pratique, parce que Log(4) devient 2Log(2)≈0,6 ou Log(20)≈1,3…

Conversions Angles

C'est pas tous les jours que l'on s'en sert, mais c'est bien utile aussi. Un angle exprimé en degré, par exemple 20,5° peut être exprimé sous la forme 20°30min. Où 1 degré, c'est 60 minutes. Pour aller vite, je dis que 1/10 de degré, c'est 6 minutes. De cette manière, 12,3° = 12°18'.

Et en binaire ?

Ok, là je m’égare, mais il y a quelques techniques pour convertir en binaire (puis en hexadécimal, par exemple pour la programmation ou les couleurs).
Il suffit de faire des soustractions successives en notant les puissances de deux qui apparaissent dans un nombre :
Exemple, dans 2013 : on trouve 1024, (reste 989), 512 (reste 477), 256 (reste 221), 128 (reste 93), 64 (reste 29), 16 (reste 13), 8 (reste 5), 4 et 1.
Autrement dit, 2013 en binaire, c’est 11111011101.

Pour le hexa, il faut le découper par groupe de 4 : 11111011101 devient 111-1101-1101, soit 7DD.
J’ai un tuto là sinon.

Conclusion

J'ai donné ici quelques règles simples que j'utilise presque tous les jours… Suffit de les connaitre, surtout pour la multiplication. Je vous avais aussi déjà donné ceci, une astuce pour multiplier rapidement et simplement de grands nombres.

EDIT : voilà une autre astuce très pratique (source) :

image de hownowdesign